Question

1．已知等差数列{a_n}，等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=1，a₂=b₂，2a₃-b₃=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由a₁=b₁=1，a₂=b₂，2a₃-b₃=1．可得1+d=q，2（1+2d）-q²=1，解出即可得出．
（II）当$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{q=1}\end{array}\right.$时，c_n=a_nb_n=1，S_n=n．当$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}\right.$时，c_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q：∵a₁=b₁=1，a₂=b₂，2a₃-b₃=1．
∴1+d=q，2（1+2d）-q²=1，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{q=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}\right.$．
∴a_n=1，b_n=1；
或a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1．
（II）当$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{q=1}\end{array}\right.$时，c_n=a_nb_n=1，S_n=n．
当$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}\right.$时，c_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，
∴S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1，
3S_n=3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴-2S_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-1-（2n-1）•3ⁿ=（2-2n）•3ⁿ-2，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ+1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．