Question

4．在如图所示的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC=1，BC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$，侧棱AA₁=1，点D，M分别为A₁B，B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁BM；
（Ⅱ）求三棱锥M-A₁BC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明CD⊥平面A₁BM；
（Ⅱ）根据条件求出三棱锥的高，结合三棱锥的体积公式即可求三棱锥M-A₁BC的体积．

解答 解：（Ⅰ）∵AC=1，$BC=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3}$，满足AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴CC₁⊥BC，
又∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥面ACC₁．
∵A₁C?面ACC₁，∴BC⊥A₁C．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴AA₁⊥AC，∴${A_1}C=\sqrt{2}$，
又∵$BC=\sqrt{2}$，∴CD⊥A₁B，且$CD=\frac{1}{2}\sqrt{{A_1}{C^2}+B{C^2}}=1$．…（2分）
连结MD．                                             …（1分）
∵${A_1}M=BM=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，点D为A₁B的中点，
∴MD⊥A₁B，且$MD=\sqrt{{A_1}{M^2}-{A_1}{D^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（3分）
又$CM=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，则CM²=CD²+MD²，∴CD⊥MD．…（4分）
又A₁B?面A₁BM，MD?面A₁BM，CD∩MD=D，
∴CD⊥面A₁BM，…（6分）
（Ⅱ）连结MD，由（Ⅰ）知CD⊥面A₁BM，故${V_{M-{A_1}BC}}={V_{C-{A_1}BM}}$．…（8分）
∵${A_1}B=\sqrt{{A_1}B_1^2+BB_1^2}=2$，…（9分）
∴${V_{M-{A_1}BC}}={V_{C-{A_1}BM}}=\frac{1}{3}•{S_{△{A_1}BM}}•CD=\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}•2•\frac{{\sqrt{2}}}{2}）•1=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．…（12分）

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．