Question

19．已知函数f（x）=sinωx-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$（ω＞0），其图象与x轴的相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$，则f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． -$\sqrt{3}$
• D． -2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 化简已知函数可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），由图象和周期性可得ω值，由x的范围和三角函数最值可得．

解答 解：由三角函数公式可得f（x）=sinωx-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$
=sinωx+$\sqrt{3}$（1-2sin²$\frac{ωx}{2}$）=sinωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∵图象与x轴的相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$，
∴函数的周期T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∴f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为-$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属中档题．