Question

9．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC的交点D恰为BC边的中点，过点D作DE⊥AC于点E．
（I）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若∠B=30°，求$\frac{{{A}{E}}}{DC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OD．证明OD∥AC．推出DE⊥OD，得到DE是⊙O的切线．
（Ⅱ）说明AD⊥BC．求出∠ADE=30°．在直角三角形AED与在直角三角形DEC中求解所求比值即可．

解答 解：（Ⅰ）如图，连接OD．
因为O是AB的中点，D是BC的中点，
所以 OD∥AC．
因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，
所以DE是⊙O的切线．…（5分）
（Ⅱ）因为AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，所以AD⊥BC．
又D是BC的中点，所以 AB=AC．故∠ACD=∠B=30°．
因为DE⊥AC，所以∠ADE=30°．在直角三角形AED中，$\frac{AE}{DE}=tan{30°}$；
在直角三角形DEC中，$\frac{DE}{DC}=sin{30°}$．
于是$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形的解法，考查计算能力．