Question

集合A是由适合以下性质的函数f(x)构成的：对于任意的x＞0,y＞0,且x≠y,都有

f(x)+2f(y)＞3f().

(1)试判断f₁(x)=log₂x及f₂(x)=(x+1)²是否在集合A中？请说明理由.

(2)设f(x)∈A，且定义域是(0，+∞)，值域是(1,2)，f(1)＞,写出一个满足以上条件的f(x)的解析式，并证明你写出的函数f(x)∈A.

Answer 1

解：(1)取x=1,y=4，则

f₁(1)+2f₁(4)=log₂1+2log₂4=log₂16,

3f₁()=3log₂=log₂27＞log₂16，

∴f₁(x)+2f₁(y)＜3f₁().

∴f₁(x) A.

    任取x＞0,y＞0且x≠y,研究

f₂(x)+2f₂(y)-3f₂()=(x+1)²+2(y+1)²-

3(+1)²=(x-y)²＞0.

∴f₂(x)+2f₂(y)＞3f₂().

∴f₂(x)∈A.

(2)设函数f(x)=()^x+1,x∈(0,+∞),满足其值域为(1,2)且f(1)=+1=＞.

    又任取x＞0,y＞0且x≠y,则

f(x)+2f(y)=()^x+1+2()^y+2

=()^x+2()^y+3

=()^x+()^y+()^y+3＞

=3［+1］

=3f().

∴f(x)∈A.