Question

16．已知奇函数f（x）的导函数为f′（x），且当x∈（0，+∞）时，xf′（x）-f（x）=x，若f（e）=e，则f（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-1，0）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（e，+∞）
• C． （-e，0）∪（e，+∞）
• D． （-∞，-e）∪（0，e）

Answer 1

分析 先求出f（x）的解析式，问题转化为解不等式xln|x|＞0，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：∵x＞0时，xf′（x）-f（x）=x，
∴$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$，
即${[\frac{f（x）}{x}]}^{′}$=$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=x（lnx+c），
若f（e）=e，则e（lne+c）=e，解得：c=0，
∴f（x）=xlnx，（x＞0），
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=xln|x|，
由f（x）＞0，即xln|x|＞0，
得：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{lnx＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{ln（-x）＜0}\end{array}\right.$，
解得：x＞1或-1＜x＜0，
故选：A．

点评 本题考查了导数的应用，考查求函数的原函数问题，考查不等式的解法，是一道中档题．