Question

【题目】在直角坐标系xoy中，曲线C1： （t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2 cosθ． （Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①

C3：ρ=2 cosθ，则ρ2=2 ρcosθ，即x2+y2=2 x，②

由①②得 或 ，

即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（ ， ）；

（Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，

则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．

因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2 cosα，α）．

所以|AB|=|2sinα﹣2 cosα|=4|sin（α ）|，

当α= 时，|AB|取得最大值，最大值为4．

【解析】（Ⅰ）将C2与C3转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（Ⅱ）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．