Question

【题目】已知函数 是 的导函数， 为自然对数的底数．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明： ；
（3）当 时，判断函数 零点的个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：对函数 求导得 ，

，

①当 时， ，故 在 上为减函数；

②当 时，解 可得 ，故 的减区间为 ，增区间为 ；

（2）

，设 ，则 ，

易知当 时， ，

；

即g（ ）＞0.

（3）

由（1）可知，当 时， 是先减再增的函数，

其最小值为 ，

而此时 ，且 ，故 恰有两个零点 ，

∵当 时， ；当 时， ；当 时，

，

∴ 在 两点分别取到极大值和极小值，且 ，

由 知 ，

∴ ，

∵ ，∴ ，但当 时， ，则 ，不合题意，所以 ，故函数 的图象与 轴不可能有两个交点.

∴函数 只有一个零点.

【解析】（1）g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性，可考虑二阶求导；（2）利用导数表示出单调性，根据单调性进行证明；（3）根据g（x）大致判断f（x）的单调性，并计算出极值点，将极值点代入f（x）中，判断f（x）零点的个数。
【考点精析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)．