Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点．给出下列命题：
①弦MN的长的取值范围是(0，2

2

]；
②内切球的体积为

4π

3

；
③直线PM与PN所成角的范围是(0，

π

2

]；
④当PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是

2

2

；
⑤线段PN的最大值是

3

+1．
其中正确的命题是

 

（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：根据MN的最大值为球直径，即|MN|≤2可判断①；
由内切球的直径为2，求出球的体积，可判断②；
根据直线PM与PN所成角最小为0，可判断③；
根据PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是

2

，可判断④；
根据线段PN的最大值是

3

+1可判断⑤

解答： 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，
故MN的最大值为球直径，即|MN|≤2，
即弦MN的长的取值范围是（0，2]，故①错误；
内切球的直径为2，半径为2，体积为

4π

3

，故②正确；
直线PM与PN所成角的范围是[0，

π

2

]，故③错误；
当PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是

2

，此时P为正方体的一个顶点，N为内切球与正方体的切点；故④错误；
线段PN的最大值是

3

+1．此时P为正方体的一个顶点，N为体对角线与球的交点，故⑤正确；
故答案为：②⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了正方体的内切球及其相关的距离，夹角，体积等问题，难度中档．