Question

如图，棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F，G分别为棱CC₁，C₁D₁，AB的中点．
（Ⅰ）求异面直线AC与FG所成角的大小；
（Ⅱ）求证：AC∥平面EFG．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AD₁，CD₁，证明∠D₁AC为异面直线AC与FG所成角，即可求出异面直线AC与FG所成角的大小；
（Ⅱ）证明平面EFG∥平面AD₁C，即可证明AC∥平面EFG．

解答： （Ⅰ）解：连接AD₁，CD₁，则
∵F，G分别为棱C₁D₁，AB的中点，
∴四边形FGAD₁是平行四边形，
∴FG∥AD₁，
∴∠D₁AC为异面直线AC与FG所成角，
∵△AD₁C是等边三角形，
∴∠D₁AC=

π

3

，
∴异面直线AC与FG所成角为

π

3

；
（Ⅱ）证明：∵E，F分别为棱CC₁，C₁D₁的中点，
∴EF∥CD₁．
∴EF∥平面AD₁C，
同理FG∥平面AD₁C，
∵EF∩FG=F，
∴平面EFG∥平面AD₁C
∵AC?平面AD₁C，
∴AC∥平面EFG．

点评：本题考查异面直线及其所成的角，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．