Question

21、如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．

Answer 1

分析：要证明△PDF∽△POC，由于已知两个三角形有个公共角∠P，而题目中未给出与线段对应成比例的条件，故可根据判断定理一来证明三角形相似，故我们还需要再找到一个相等的角．

解答：证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PDF=∠OCP．
在△PDF与△POC中，
∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，
故△PDF∽△POC．

点评：证明三角形相似有三个判定定理：
（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似．
（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．