Question

16．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），且|PA|+|PC₁|=$\sqrt{5}$，则满足条件的点P的个数为12．

Answer 1

分析 由题意可得点P是以2c=$\sqrt{3}$为焦距，以a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$为长半轴，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．

解答 解：∵正方体的棱长为1
∴AC₁=$\sqrt{3}$
∵|PA|+|PC₁|=$\sqrt{5}$，
∴点P是以2c=$\sqrt{3}$为焦距，以a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$为长半轴，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为短半轴的椭圆，
∵P在正方体的棱上，
∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，
结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B₁C₁，C₁D₁，CC₁，AA₁，AB，AD上各有两点满足条件．
故答案为：12

点评 本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．