Question

已知函数y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的取值集合；
（2）求该函数的单调递增区间．

Answer 1

分析：函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）根据正弦函数最大值为1，求出y的最大值，以及此时x的取值集合；
（2）根据正弦函数的单调递增区间求出x的范围即可．

解答：解：函数y=

1

4

cos2x+

1

4

+

3

4

sin2x+1=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
（1）当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z时，sin（2x+

π

6

）取得最大值1，y取得最大值

7

4

；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则该函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．