Question

20．已知x²-2ax+3a-1＞0，x∈（0，+∞），求a的取值范围．

Answer 1

分析 对x讨论，当x=$\frac{3}{2}$时，不等式显然成立；当0＜x＜$\frac{3}{2}$时，当x＞$\frac{3}{2}$时，运用参数分离，及基本不等式，结合恒成立思想即可得到所求范围．

解答 解：x²-2ax+3a-1＞0即为
（x²-1）+a（3-2x）＞0，①
当x=$\frac{3}{2}$时，①显然成立；
当0＜x＜$\frac{3}{2}$时，①可化为a＞$\frac{1-{x}^{2}}{3-2x}$，
令t=3-2x（t＞0），则a＞$\frac{1}{4}$（6-t-$\frac{5}{t}$），
而t+$\frac{5}{t}$≥2$\sqrt{5}$，当且仅当t=$\sqrt{5}$取得最小值．
即有$\frac{1}{4}$（6-t-$\frac{5}{t}$）≤$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，即有a＞$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
当x＞$\frac{3}{2}$时，①可化为a＜$\frac{1-{x}^{2}}{3-2x}$，
令t=3-2x（t＜0），则a＜$\frac{1}{4}$（6-t-$\frac{5}{t}$），
而-t+（-$\frac{5}{t}$）≥2$\sqrt{5}$，当且仅当t=-$\sqrt{5}$取得最小值．
即有$\frac{1}{4}$（6-t-$\frac{5}{t}$）≥$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
即有a＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
综上可得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查函数的恒成立问题，注意运用参数分离和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．