【题目】定义在上的函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有且仅有一个零点,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)或
【解析】
(1)求导可得,再求得极值点,并分析与区间端点的大小关系,进而求得在区间上导函数的正负以及原函数的单调性即可;
(2)根据(1)所得的单调性,分析极值点的正负或等于是否满足条件,再结合区间端点的正负,利用零点存在性定理求解即可.
.
(1)时,恒成立,令,得.
①当,即时,在上恒成立,
则在恒成立,在上单调递增;
②当,即时,在上恒成立,
则在恒成立,在上单调递减;
③当,即时,若,
即时,,单调递减;
若,即时,,单调递增.
综上所述,当时,在上单调递增;时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增;
(2)①当时,在上单调递增,而,此时无零点;
②当时,在上单调递减,在上单调递增.
若函数在上有唯一零点,则有或.
,
解得.
,解得,故.
③当时,在上单调递减,,在上存在唯一零点.
综上可知,或.
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【题目】时代悄然来临,为了研究中国手机市场现状,中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况,得到如下统计图,根据该统计图,下列说法错误的是( )
A.2019年全年手机市场出货量中,5月份出货量最多
B.2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C.2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D.2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
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【题目】已知椭圆的左、右焦点为的坐标满足圆方程,且圆心满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线交椭圆于、两点,过与垂直的直线交圆于、两点,为线段中点,若的面积 ,求的值.
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【题目】如图,等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直,AC⊥AB,P是弧AB上一点,且∠PAB=30°.
(1)证明:平面BCP⊥平面ACP;
(2)若Q是弧AP上异于AP的一个动点,当三棱锥C-APQ体积最大时,求二面角A-PQ-C的余弦值.
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【题目】设,分别是椭圆的左,右焦点,两点分别是椭圆的上,下顶点,是等腰直角三角形,延长交椭圆于点,且的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆上异于的动点,直线与直分别相交于两点,点,求证:的外接圆恒过原点.
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【题目】《九章算术》中记载:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵中,且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑,现将鳖臑沿线BC1翻折,使点C与点B1重合,则鳖臑经翻折后,与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______.
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【题目】已知椭圆的左右焦点为,,离心率为,过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆于点,两点,与线段和椭圆短轴分别交于两个不同点,,且,求的最小值.
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