Question

【题目】已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交椭圆于点，两点，与线段和椭圆短轴分别交于两个不同点，，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆的离心率和过焦点且垂直于轴的弦长列方程，解方程求得，由此求得椭圆方程.

（2）联立直线的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，结合求得的值，根据的取值范围以及弦长公式，求得的最小值.

（1）由题可知：，且，

解得，，.

则椭圆的方程为；

（2）把代入得，

设，，则，，

又，，

因，所以，即，

所以，

因为与线段和椭圆短轴分别交于两个不同点，，

所以，又，

则，

故，，

因为直线即与线段及椭圆的短轴分别交于不同两点，由于，直线过，

所以，即，且，

所以

，

因为，且，

所以当或时的最小值为.