Question

【题目】如图,在直三棱柱中,,是的中点,.

（1）求证：平面；

（2）若异面直线和所成角为,求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

(1) 连交于点,连.再根据中位线证明即可.

(2) 根据(1)可知或其补角为异面直线和所成角,再判断可得为等边三角形,即可求得,再根据线面垂直的判定与性质可得平面,继而求得四棱锥的体积即可.

（1）证明：如图,连交于点,连.

因为直三棱柱中,四边形是矩形,故点是中点,

又是的中点,故,

又平面,平面,故平面.

（2）解：由（1）知,又,故或其补角为异面直线和所成角.

设,则,,,故为等腰三角形,故,

故为等边三角形,则有,得到.

故为等腰直角三角形,故,又平面,平面,

故,又,故平面,

又梯形的面积,,

则四棱锥的体积.