【题目】动点与定点的距离和该动点到直线的距离的比是常数.
(1)求动点轨迹方程;
(2)已知点,问在轴上是否存在一点,使得过点的任一条斜率不为0的弦交曲线于两点,都有.
【答案】(1);(2)存在,坐标为
【解析】
(1)根据题意列出点满足的关系式,再化简方程即可.
(2) 设,再讨论当⊥轴时可得,即若存在定点,则定点坐标为.再讨论斜率存在时,设的方程为,联立椭圆方程,求出韦达定理,证明即可.
(1)由题意,知,即.
解得曲线的方程为.
(2)法一:设,易知,
①若⊥轴时,由,此时,满足椭圆方程,
∴,解得(舍),可知若存在定点,则定点坐标为.
②当直线斜率存在时,设斜率为k,
设的方程为,联立椭圆方程,
消去得,∴.
,∴
,
综合①②可知,存在点,使得.
(2)(解法二)设,易知,设.
若不垂直轴,的斜率为,则直线的方程为,
,,
,
即是①,
由,得,
代入①式得
化简,
整理得②,
为使与斜率无关,由②式得出,解得(舍),
这说明与轴不垂直时,是过的弦,恒有,
若⊥轴时,:,是等腰三角形,,
,,,,
可见是等腰直角三角形,,
综上,过的弦总有.
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【题目】若函数满足“存在正数,使得对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在,使成立”,则称该函数为“依附函数”.
(1)分别判断函数①,②是否为“依附函数”,并说明理由;
(2)若函数的值域为,求证:“是‘依附函数’”的充要条件是“”.
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【题目】当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象,在新冠肺炎爆发期间,境外某市每日下班后统计住院人数,从中发现:该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%,但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院,已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗,该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者,若继续按照这样的规律发展,该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑”现象,只需要约( )
参考数据:.
A.7天B.10天C.13天D.16天
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【题目】动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为4.
(1)若动圆圆心的轨迹为曲线,求曲线的方程;
(2)在曲线的对称轴上是否存在点,使过点的直线与曲线的交点满足为定值?若存在,求出点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数,,.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若曲线在点(1,0)处的切线为l : x+y-1=0,求a,b的值;
(3)若恒成立,求的最大值.
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