Question

【题目】已知函数，，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若曲线在点(1，0)处的切线为l : x＋y－1＝0，求a，b的值；

（3）若恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求导数，令可得增区间，令可得减区间；

（2）求导数，结合切线方程可求a，b的值；

（3）先求导数，根据恒成立分类讨论求解函数的最值，进而可得的最大值．

（1）由题意知，则．

令得，所以在上单调递增．

令得，所以在上单调递减．

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）因为，得，

由曲线在处的切线为，可知，且，

所以

（3）设，则恒成立．

易得

（i）当时，因为，所以此时在上单调递增．

①若，则当时满足条件，此时；

②若，取即且，

此时，所以不恒成立．

不满足条件；

(ii)当时，令，得由，得；

由，得

所以在上单调递减，在上单调递增．

要使得“恒成立”，必须有

“当时， ”成立．

所以．则

令则

令，得由，得；

由，得所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，当时，

从而，当时， 的最大值为．