Question

【题目】已知椭圆E：经过点，且离心率.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设椭圆E的右顶点为A，若直线与椭圆E相交于MN两点(异于A点)，且满足，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标为.

【解析】

（1）由题意的离心率公式，求得，，将点代入椭圆方程，即可求得和的值，即可求得椭圆的标准方程；

（2）将直线方程代入椭圆方程，由题意可知 ，由向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得和的关系，代入即可求得直线恒过定点．

（1）由椭圆离心率，则，，

将代入椭圆方程：，解得：，则，，

椭圆方程为；

（2）证明：设，，

由，整理得，

则，，

且，即，

，

即，则，

即，

又，

，化简得，，

解得或且均满足，

当时，，直线过定点与已知矛盾，

当时，，直线过定点，

综上，直线l过定点，定点坐标为.