Question

【题目】如图，抛物线的焦点为F（1，0），E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记，的面积分别为．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

（3）求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，4；（3）5.

【解析】

（1）由焦点坐标得焦参数后可得抛物线方程；

（2）由于直线AB的斜率不可能为0，故可设，代入抛物线方程整理后得一元二次方程，设，，则，．由计算和，并计算可得定值；

（3）在（2）基础上，由点坐标求出点坐标，同理得坐标，得（仍然代入），这样可用表示，换元设（），利用函数的单调性可得最小值．

解：（1）∵抛物线的焦点为，∴，

∴抛物线方程为；

（2）由已知可得，，

由于直线AB的斜率不可能为0，故可设，

联立，消去x并整理得：，

设，，则，．

所以，，

而，

所以（定值）；

（3）直线，可得，同理，

∴，

即，

∴，

令则，

由对勾函数的性质知在上是增函数，在上是增函数，所以时，，此时．

故的最小值是5，此时直线轴．