Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，直线与抛物线C交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率之和为．

（1）求a和k的值；

（2）若，设直线与y轴交于D点，延长MD与抛物线C交于点N，抛物线C在点N处的切线为n，记直线n，与x轴围成的三角形面积为S．求S的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）将点代入抛物线，得，设，，，将直线的方程与抛物线方程联立，可得出的值.

（2）由（1）得直线的方程，可得，所以，则直线DM的方程为：，联立，可得到，利用导数求出切线n的方程，解出点的坐标,得到三角形的面积表达式，利用导数求出最大值.

解：（1）将点代入抛物线，得，

由，得，

设，，

则，，

故

由已知直线OA．OB的斜率之和为，故；

（2）在直线的方程中，

令得，，

直线DM的方程为：，

即

由，得，

解得：或，所以，

由，得，，

切线n的斜率，

切线n的方程为：，即，

由，得直线l、n交点Q，纵坐标

设直线，与x轴的交点，，

在直线，方程中令.

得到点，，

所以，

，．

当，函数单调递减；当时，函数单调递增；

∴当时，S最小值为．