【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数在
上有且只有一个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)
【解析】
(1) 求导函数,对其进行因式分解,对分成
,
,
,
几类进行讨论,从而可确定函数
的单调性与单调区间;
(2) 对分成
,
,
,
,
几类,利用函数的单调性和零点存在性定理,由
在
上有且只有一个零点,求解参数范围.
解:(1)定义域为,
,
(Ⅰ)当时,
;
,
即在
上单调递减,
在
上单调递增;
(Ⅱ)当时,由
,得
或
,
(i)若,则
,所以
在
上单调递增;
(ii)若,则
,
或
;
,
即在
,
上单调递增,
在
上单调递减,
(iii)若,则
或
;
,
即在
,
上单调递增,
在
上单调递减.
(2)(Ⅰ)当时,
在
上单调递减,
在
上单调递增;
时,
,
,所以
在
上有两个零点;
(Ⅱ)当时,
,令
得
,又知当
时
,当
时,
,此时
在
上有且只有一个零点;
(Ⅲ)当时,
(i)当时,由(1)知
在
上单调递增,
,
此时在
上有且只有一个零点;
(ii)当时,由(1)结合
的单调性
,只需讨论
的符号,
当时,
,
在
上有且只有一个零点;
当时,
,
在
上无零点;
(iii)若由(1)结合
的单调性,
,
,此时
在
上有且只有一个零点.
综上所述,.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
是边长为2的正方形,侧面
为正三角形,且面
面
,
分别为棱
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)(文科)求三棱锥的体积;
(理科)求二面角的正切值.
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【题目】已知椭圆E:经过点
,且离心率
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设椭圆E的右顶点为A,若直线与椭圆E相交于MN两点(异于A点),且满足
,试证明直线l经过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】“干支纪年法”是中国历法自古以来就使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸为十天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为十二地支.“干支纪年法”是以一个天干和一个地支按上述顺序相配排列起来,天干在前,地支在后,已知2017年是丁酉年,2018年是戊戌年,2019年是已亥年,依此类推,则2080年是____________年.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆
上,焦点为
,圆O的直径为
.
(1)求椭圆C及圆O的标准方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P,且直线l与椭圆C交于两点.记
的面积为
,证明:
.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且
,抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上.
(1)求椭圆与抛物线的标准方程;
(2)过抛物线焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于
、
两点,
为椭圆的左焦点,求
.
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【题目】在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这
户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标
.将指标
按照
,
,
,
,
分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.规定若
,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”;当
时,认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这
户家庭的受教育水平进行评测,家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关:
受教育水平良好 | 受教育水平不好 | 总计 | |
绝对贫困户 | |||
相对贫困户 | |||
总计 |
(2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于的贫困户中,随机选取两户,用
表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求
的分布列和数学期望
.
附:,其中
.
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【题目】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人,调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:
年龄 | |||||
支持“延迟退休”的人数 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
(1)由以上统计数据填列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
总计 |
(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时,求抽到的另一人是45岁以上的概率.
②记抽到45岁以上的人数为,求随机变量
的分布列及数学期望.
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
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