Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）设AB的垂直平分线l'与C相交于M，N两点，试判断A，M，B，N四点是否在同一个圆上？若在，求出l的方程；若不在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设Q（x0，4），代入y2=2px得x0= ，

∴|PQ|= ，|QF|= +x0= + ．

由题设得 + =2× ，解得p=﹣4（舍去）或p=4，

∴抛物线C的方程为y2=8x．

（2）解：由题设知，l与坐标轴不垂直，且过焦点F（2，0），

故可设l的方程为x=my+2（m≠0），

代入y2=8x得y2﹣8my﹣16=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣16．

故AB的中点为D（4m2+2，4m），

|AB|= |y1﹣y2|= =8（m2+1）．

又l′⊥l，所以l′的斜率为﹣m，

所以l′的方程为x=﹣ y+4m2+6．

将上式代入y2=8x，并整理得y2+ y﹣8（4m2+6）=0，

设M（x3，y3），N（x4，y4），

则y3+y4=﹣ ，y3y4=﹣8（4m2+6）．

故MN的中点为E（ +4m2+6，﹣ ），

|MN|= |y3﹣y4|= = ，

由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|，

又在Rt△ADE中，丨AD丨2+丨DE丨2=丨AE丨2，

从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2，

即16（m2+1）2+（4m+ ）2+（ +4）2= ，

化简得m2﹣1=0，m=±1，

所以当A，M，B，N四点在同一圆上时，l的方程为x=±y+2，即x±y﹣2=0．

【解析】（1）将Q（x0，4）代入抛物线方程，求得丨PQ丨，根据抛物线的定义，即可求得p的值，求得C的方程；（2）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．