Question

已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，∠C=90°，当n∈N^*，且n≥2时，aⁿ+bⁿ与cⁿ的大小关系为（　　）

• A、aⁿ+bⁿ＞cⁿ
• B、aⁿ+bⁿ＜cⁿ
• C、aⁿ+bⁿ≥cⁿ
• D、aⁿ+bⁿ≤cⁿ

Answer 1

考点：不等关系与不等式

专题：综合题

分析：依题意，a²＜c²，b²＜c²，

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），利用指数函数的单调性即可比较n＞2时，cⁿ与aⁿ+bⁿ的大小．

解答： 解：∵a、b、c∈R⁺，当n=2时，a²+b²=c²，
∴(

a

c

)2+(

b

c

)2=1．
∴

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），
∵y=(

a

c

)x与y=(

b

c

)x均为减函数，
∴当n＞2时，(

a

c

)n＜(

a

c

)2，(

b

c

)n＜(

b

c

)2；
∴当n＞2时，(

a

c

)n+(

b

c

)n＜(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
即当n＞2时，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．
综上可得aⁿ+bⁿ≤cⁿ．
故选：D．

点评：本题考查不等式比较大小，突出考查指数函数的单调性，考查转化思想与推理分析的能力，属于难题．