Question

已知椭圆的焦点为F₁(-1,0)、F₂(1,0),直线x=4是它的一条准线.

(1)求椭圆的方程;

(2)设A₁、A₂分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|PA₁|-|PA₂|=2的一点，求tan∠A₁PA₂的值；

(3)若过点(1,0)的直线与以原点为顶点、A₂为焦点的抛物线相交于点M、N，求MN中点Q的轨迹方程.

Answer 1

解：(1)设椭圆方程为+=1(a＞b＞0).

    由题设有

    解得∴b²=3.所求椭圆方程为+=1.

    (2)由题设知，点P在以A₁、A₂为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上.

由(1)知A₁(-2,0),A₂(2,0),

    设双曲线方程为-=1(m＞0,n＞0).

    则解得

     ∴双曲线方程为x²-=1.

    由

    解得P点的坐标为(,)或(,-).当P点坐标为(,)时,tan∠A₁PA₂==-4.

    同理,当P点坐标为(,-)时，

    tan∠A₁PA₂=-4.

    故tan∠A₁PA₂=-4.

    (3)由题设知，抛物线方程为y²=8x.

    设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),MN的中点Q（x,y）,

    当x₁≠x₂时,有

   

    ①-②,得 (y₁+y₂)=8,

    将④⑤代入上式，

    有·2y=8,

    即y²=4(x-1)(x≠1).

    当x₁=x₂时，MN的中点为(1,0)，仍满足上式.

    故所求点Q的轨迹方程为y²=4(x-1).