Question

已知函数f（x）=log₃x，函数g(x)=log

1

3

(mx2+2mx+1)．
（1）若g（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[

1

9

，  9]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）利用恒成立的意义，对m分m=0与m≠0讨论，即可求得实数m的取值范围；
（2）x∈[

1

9

，9]时，构造函数t=f（x），t∈[-2，2]，其对称轴为t=a，对a分a＜-2，-2≤a≤2与a＞2讨论，利用函数y=t²-2at+3在[-2，2]上在的单调性即可求得
其最小值h（a）．

解答：解：（1）由题意mx²+2mx+1＞0对任意x∈R恒成立．
若m=0，则有1＞0对任意x∈R恒成立，满足题意．
若m≠0，
则

m＞0 △=4m2-4m＜0

，
整理得

m＞0 0＜m＜1

，解得0＜m＜1．
∴m的取值范围为[0，1）
（2）x∈[

1

9

，9]时，令t=f（x），t∈[-2，2]，
y=f²（x）-2af（x）+3=t²-2at+3，其对称轴为t=a，
 ①若a＜-2，y=t²-2at+3在[-2，2]上单调递增，
∴当t=-2时，y_min=（-2）²-2a•（-2）+3=7+4a；．
 ②若-2≤a≤2，当t=a时，y_min=a²-2a•a+3=3-a²；．
 ③若a＞2，同理可得，y=t²-2at+3在[-2，2]上单调递间，
∴当t=2时，y_min=2²-2a•a+3=7-4a；
∴h（a）=

7+4a，a＜-2 3-a2，-2≤a≤2 7-4a，a＞2

．

点评：本题考查指数函数的综合应用，着重考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的综合应用，属于中档题．