Question

已知函数f（x）=2x³+px+r，g（x）=15x²+qlnx（p，q，r∈R）．
（I）当r=-35时f（x）和g（x）在x=1处有共同的切线，求p、q的值；
（II）已知函数h（x）=f（x）-g（x）在x=1处取得极大值-13，在x=x₁和x=x₂（x₁≠x₂）处取得极小值h（x₁）和h（x₂），若h（x₁）+h（x₂）＜kln3-10成立，求整数k的最小值．

Answer 1

（Ⅰ） f′（x）=6x²+p，g′(x)=30x+

q

x

，
由题意得：

f′(1)=g′(1) f(1)=g(1)

，故

6+p=30+q 2+p-35=15

，解得：

p=48 q=24

．      （5分）
（Ⅱ）∵h（x）=f（x）-g（x）=2x³+px+r-15x²-qlnx，
∴h′(x)=6x2+p-30x-

q

x

．
由

h′(1)=0 h(1)=-13

得：

6+p-30-q=0 2+p+r-15=-13

，得

q=p-24 r=-p

．
∴h′(x)=6x2+p-30x-

p-24

x

=

6x3-30x2+px-p+24

x

=

6x3-6x2-24x2+px-p+24

x

=

(x-1)(6x2-24x-24+p)

x

．
由题意知h（x）在x=x₁和x=x₂处取得极小值，则0＜x₁＜1＜x₂，
设m（x）=6x²-24x+p-24，则

m(0)＞0 m(1)＜0

，从而24＜p＜42．
且

x1+x2=4 x1x2= p-24 6

，设x₁x₂=t，则0＜t＜3
.h(x1)+h(x2)=2(x13+x23)+p(x1+x2)-2p-15(x12+x22)-(p-24)ln(x1x2)
=2(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]+4p-2p-15[(x1+x2)2-2x1x2]-(p-24)ln(x1x2)
=-112+6•x₁x₂+2p-（p-24）ln（x₁x₂）
=-112+6t+12t+48-6tlnt
=-64+18t-6tlnt．             （6分）
设F（t）=-64+18t-6tlnt，
则F′（t）=18-（6lnt+6）=6（2-lnt）＞0，
∴F（t）在（0，3）上是增函数，
∴h（x₁）+h（x₂）＜F（3）=-10-18ln3．
则kln3-10≥-10-18ln3，从而k≥-18．
即：所求的k的最小值为-18．