【题目】已知函数.
(1)若在
处的切线方程为
,求实数
,
的值:
(2)求证:当时,
在
上有两个极值点:
(3)设,若
在
单调递减,求实数
的取值范围.(其中
为自然对数的底数)
【答案】(1);
.(2)见解析(3)
【解析】
(1)根据函数解析式,先求得导函数,将横坐标带入结合切线方程的斜率即可求得的值,进而可得切点坐标,将切点坐标代入切线方程即可得
的值.
(2)令,再求得
,由导函数与函数单调性关系可得
的单调区间.由
可得
的最小值符号,再由
及零点存在定理可判断
在
有一个零点
;表示出
,并构造函数
,由
的符号可得
的单调递减区间,根据零点存在定理可知
在
有一个零点
,从而证明出结论.
(3)由题意可得的表达式,构造函数
,并求得
,再构造函数
,并由
的符号可判断
的单调情况,从而由
的最值判断出
的符号,即可得
的单调情况.对
分类讨论,从而由
的符号得符合题意的
的取值范围.
(1)函数.
则,
由条件知,所以
,
,所以切点坐标为
.
把代入
,
解得.
(2)证明:令,
则,所以
在
单调递减,在
单调递增.
因为,所以
.
又,所以
在
有一个零点
.
又,
令,则
,
所以在
单调递减,故
,
即,所以
在
有一个零点
.
于是可知:当时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.
因此,在
上有两个极值点(在
处取得极大值,在
处取得极小值).
(3),
令,
则,
令,当
时,
,
单调递增,
,
所以,
在
单调递增,
于是可得,
①若,则
,
,
因为在
单调递减,
所以
,
令,
当时,
,
故单调递减,所以
,解得
,
②若,则
,
,
因为在
单调递减,所以
,
当,
时,
,
所以,即
,满足题设.
③若,则存在唯一确定的
,使得
.
当时,
,即存在
,
,
但,这与
在
单调递减矛盾,不合题意.
综上所述,.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(
为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为
.
(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程;
(2)已知P为曲线C2上的动点,过点P作曲线C1的切线,切点为A,求|PA|的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点O,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2).
(1)求抛物线C的方程;
设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.
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【题目】用代表红球,
代表蓝球,
代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由
的展开式
表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“
”表示取出一个红球,而“
”用表示把红球和蓝球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个有区别的红球、5个无区别的蓝球、5个无区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A.B.
C.D.
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【题目】在生活中,我们常看到各种各样的简易遮阳棚.现有直径为的圆面,在圆周上选定一个点固定在水平的地面上,然后将圆面撑起,使得圆面与南北方向的某一直线平行,做成简易遮阳棚.设正东方向射出的太阳光线与地面成
角,若要使所遮阴影面的面积最大,那么圆面与阴影面所成角的大小为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】某药业公司统计了2010-2019年这10年某种疾病的患者人数,结论如下:该疾病全国每年的患者人数都不低于100万,其中有3年的患者人数低于200万,有6年的患者人数不低于200万且低于300万,有1年的患者人数不低于300万.
(1)药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效,选择了200名患者,随机平均分为两组作为实验组和对照组,实验结束时,有显著疗效的共110人,实验组中有显著疗效的比率为70%.请完成如下的2×2列联表,并根据列联表判断是否有99.9%把握认为该药品对该疾病有显著疗效;
实验组 | 对照组 | 合计 | |
有显著疗效 | |||
无显著疗效 | |||
合计 | 200 |
(2)药业公司最多能引进3条新药品的生产线,据测算,公司按如下条件运行生产线:
该疾病患者人数(单位:万) | |||
最多可运行生产线数 | 1 | 2 | 3 |
每运行一条生产线,可产生年利润6000万元,没运行的生产线毎条每年要亏损1000万元.根据该药业公司这10年的统计数据,将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率、假设各年的患者人数相互独立.欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大,应引进多少条生产线?
附:参考公式:,其中
.
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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