Question

（本题满分12分）

已知函数。

（I）求的最小值；

（II）若对所有都有，求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）当时，取得最小值。 （Ⅱ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）的定义域为，的导数。

令，解得；令，解得。

从而在上单调递减，在上单调递增。

所以，当时，取得最小值。

（Ⅱ）解法一：令，则，    

①若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即。                

②若，方程的根为 ，

此时，若，则，故在该区间为减函数。所以，时，即，与题设相矛盾。

综上，满足条件的实数的取值范围是。

解法二：依题意，得在上恒成立，

即不等式对于恒成立。 令，则。 当时，因为，故是上的增函数，所以的最小值是，从而实数的取值范围是。

考点：本题主要考查利用导数研究函数单调性、求函数极值、最值。

点评：典型题，导数的应用，是高考必考内容，注意解答成立问题的一般方法步骤。恒成立问题，通过分离参数法，转化成求函数最值问题，应用导数知识加以解答。这体现了几道此类题的一般方法步骤。