Question

3．在△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，$sinB=\frac{5}{13}$，$cos∠ADC=\frac{3}{5}$．求：
（1）sin∠BAD；
（2）AD的长．

Answer 1

分析 （1）先求出sin∠ADC=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{12}{13}$，由sin∠BAD=sin（∠ADC-B），利用正弦加法定理能求出结果．
（2）由正弦定理能求出AD．

解答 解：（1）∵在△ABC中，D为边BC上的一点，cos∠ADC=$\frac{3}{5}$＞0，
∴∠ADC＜$\frac{π}{2}$，sin∠ADC=$\frac{4}{5}$，
又由已知得B＜∠ADC，∴B＜$\frac{π}{2}$，
∵$sinB=\frac{5}{13}$，∴cosB=$\frac{12}{13}$，
∴sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB
=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$-$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$
=$\frac{33}{65}$．
（2）由正弦定理得$\frac{AD}{sinB}$=$\frac{BD}{sin∠BAD}$，
∴AD=$\frac{BD•sinB}{sin∠BAD}$=$\frac{33×\frac{5}{12}}{\frac{33}{65}}$=25．

点评 本题考查角的正弦值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和正弦加法定理的合理运用．