Question

8．已知函数f（x）=sin（πx-$\frac{π}{3}$），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由f（x）没有零点求得x的范围，再根据f（asinx+1）没有零点可得asinx+1的范围，根据正弦函数的值域，分类讨论求得a的范围．

解答 解：若函数f（x）=sin（πx-$\frac{π}{3}$）=sinπ（x-$\frac{1}{3}$）没有零点，
故0＜（x-$\frac{1}{3}$）π＜π，或-π＜（x-$\frac{1}{3}$）π＜0，
即 0＜（x-$\frac{1}{3}$）＜1，或-1＜（x-$\frac{1}{3}$）＜0，
即$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{4}{3}$ 或-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$．
由于函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则$\frac{1}{3}$＜asinx+1＜$\frac{4}{3}$，或-$\frac{2}{3}$＜asinx+1＜$\frac{1}{3}$，
当a＞0时，∵1-a≤asinx+1≤1+a，$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞\frac{1}{3}}\\{1+a＜\frac{4}{3}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞-\frac{2}{3}}\\{1+a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$．
当a＜0时，1+a≤asinx+1≤1-a，∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a＞\frac{1}{3}}\\{1-a＜\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{1+a＞-\frac{2}{3}}\\{1-a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
求得-$\frac{1}{3}$＜a＜0．
当a=0时，函数y=f（asinx+1）=f（1）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$≠0，满足条件．
综上可得，a的范围为（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案为：（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点的定义，属于中档题．