Question

20．已知二次函数f（x）=x²，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=f（x）上的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$前n项和为T_n，问满足${T_n}＞\frac{100}{209}$的最小正整数n是多少？．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得${S_n}={n^2}$，然后再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中所求的通项公式代入数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$，利用裂项相消法求其和，再代入${T_n}＞\frac{100}{209}$求最小正整数n．

解答 解：（Ⅰ）∵点（n，S_n）均在函数y=f（x）上的图象上，∴${S_n}={n^2}$，
当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$，
经检验当n=1时，也满足a_n=2n-1，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）∵a_n=2n-1，
∴${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$
=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$=$\frac{n}{2n+1}$，
由${T_n}=\frac{n}{2n+1}＞\frac{100}{209}$，得$n＞\frac{100}{9}$，
∴满足${T_n}＞\frac{100}{209}$的最小正整数为12．

点评 本题考查数列的函数特性，考查了数列递推式，训练了裂项相消法求数列的通项公式，是中档题．