Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}\;-\;\frac{y^2}{b^2}\;=\;1\;（{a＞0，b＞0}）$与圆${x^2}+{y^2}\;={c^2}\;（{c\;=\sqrt{{a^2}+{b^2}}}）$交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2+\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{2+2\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{1+\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{1+2\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 联立双曲线方程和圆方程，求得交点，由于四边形ABCD是正方形，则有x²=y²，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．

解答 解：联立双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$和圆x²+y²=c²，
解得，x²=c²-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，y²=$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，
由于四边形ABCD是正方形，
则有x²=y²，即为c²-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$=$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，
即c⁴=2b⁴，即c²=$\sqrt{2}$b²=$\sqrt{2}$（c²-a²），
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线方程和性质，考查联立双曲线方程和圆的方程求解交点，考查离心率的求法，属于基础题．