Question

6．已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲线C：p²=2pcosθ+1．
（1）写出点A的直角坐标及曲线C的直角坐标方程，并指出曲线C的类型；
（2）若点B是曲线C上的动点，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是参数），求线段AB的中点D到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出点A的直角坐标和曲线C的直角坐标方程，并得到曲线C是以（1，0）为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆．
（2）设B（$1+\sqrt{2}cosθ$，$\sqrt{2}sinθ$），从而线段AB的中点D（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ$，$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ$），消去参数t，得直线l的普通方程为x-y+3=0，由此利用点到直线距离公式和三角函数性质能求出线段AB的中点D到直线l距离的最大值．

解答 解：（1）∵平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴$x=3\sqrt{2}×cos\frac{π}{4}$=3，y=3$\sqrt{2}$×$sin\frac{π}{4}$=3，
∴点A的直角坐标为A（3，3），
∵曲线C：ρ²=2ρcosθ+1，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x+1，即（x-1）²+y²=2，
曲线C是以（1，0）为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆．
（2）∵点B是曲线C上的动点，∴设B（$1+\sqrt{2}cosθ$，$\sqrt{2}sinθ$），
∴线段AB的中点D（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ$，$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ$），
∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是参数），
∴消去参数t，得直线l的普通方程为x-y+3=0，
∴点D（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ$，$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ$）到直线x-y+3=0的距离：
d=$\frac{|2+\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|sin（θ+\frac{3π}{4}）+\frac{7}{2}|}{\sqrt{2}}$，
∴当$sin（θ+\frac{3π}{4}）=1$时，线段AB的中点D到直线l距离的最大值为d_max=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查点的直角坐标及曲线的直角坐标方程的求法，考查线段的中点到直线距离的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．