Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（I）求f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）f（x）＞2即|2x-1|+|x+1|＞2．（*）当x≥

1

2

时，（*）化为2x-1+x+1＞2，解得即可；当x≤-1时，（*）化为-（2x-1）-（x+1）＞2，解得即可；当-1＜x＜

1

2

时，化为1-2x+x+1＞2，解得即可；
（II）关于x的不等式f（x）≤a有解?a≥f（x）_min．由于f（x）=

3x，x≥ 1 2 2-x，-1＜x＜ 1 2 -3x，x≤-1

，利用一次函数的单调性即可得出f（x）的最小值．

解答：解：（I）f（x）＞2即|2x-1|+|x+1|＞2．（*）
当x≥

1

2

时，（*）化为2x-1+x+1＞2，解得x＞

2

3

，∴x＞

2

3

．
当x≤-1时，（*）化为-（2x-1）-（x+1）＞2，即x＜-

2

3

，∴x≤-1．
当-1＜x＜

1

2

时，化为1-2x+x+1＞2，解得x＜0，∴-1＜x＜0．
综上可知：f（x）＞2的解集是{x|x＜0或x＞

2

3

}；
（II）f（x）=

3x，x≥ 1 2 2-x，-1＜x＜ 1 2 -3x，x≤-1

，
可知：当x≥

1

2

时，f(x)≥

3

2

；当-1＜x＜

1

2

时，

3

2

＜f(x)＜3；当x≤-1时，f（x）≥f（-1）=3．
综上可知：f(x)min=

3

2

．
∵关于x的不等式f（x）≤a有解，∴a≥f(x)min=

3

2

．
∴a的取值范围是[

3

2

，+∞)．

点评：本题考查了通过分类讨论去掉绝对值符号解不等式、求最小值等基础知识与基本方法，属于中档题．