Question

（2013•南京二模）设f（x）=（1+x）（1+2x）…（1+nx）（其中，n∈N^*且n≥2），其展开后含x^r项的系数记作a_r（r=0，1，2，…，n）．
（1）求a₁（用含n的式子表示）；
（2）求证：a2=

3n+2

4

C

3 n+1

．

Answer 1

分析：（1）从函数的解析式的n个括号中，选一个x，余下的选常数，即可得到a₁（用含n的式子表示）；
（2）从函数的解析式的n个括号中，选两个x项，余下的选常数，即可得到a₂，然后证明：a2=

3n+2

4

C

3 n+1

．

解答：解：（1）由题意从函数的解析式的n个括号中，选一个x，余下的选常数，
∴a₁=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
（2）由题意从函数的解析式的n个括号中，选两个含有x的项，余下的选常数，即可得到a₂，
∴a₂=1×1+1×2+1×3+…+1•n+2×3+2×4+…+2•n+…+（n-1）•n
=

(1+2+…+n)2-(12+22+…+n2)

2

=

1

2

[

n(n+1)

2

]2-

n(n+1)(2n+1)

12

=

n(n+1)

4

•

(n-1)(3n+2)

6

=

3n+2

4

C

3 n+1

∴a2=

3n+2

4

C

3 n+1

．

点评：本题考查二项式定理的应用，分析法以及综合法解决问题额方法，注意x的指数以及展开式项的关系是解题的关键．