Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，点 ，圆F2：x2+y2﹣2 x﹣13=0，以动点P为圆心的圆经过点F1 ， 且圆P与圆F2内切．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线l过点（1，0），且与曲线E交于A，B两点，则在x轴上是否存在一点D（t，0）（t≠0），使得x轴平分∠ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆F2：x2+y2﹣2 x﹣13=0化为 ．

故F2（ ），半径r=4．

而 ＜4，∴点F1在圆F2内，

又由已知得圆P的半径R=|PF1|，由圆P与圆F2内切得，圆P内切于圆F2，即|PF2|=4﹣|PF1|，

∴|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，

故点P的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为4的椭圆，

有c= ，a=2，则b2=a2﹣c2=1．

故动点的轨迹方程为

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=ny+1．

联立 ，得（n2+4）y2+2ny﹣3=0．

△=16（n2+3）＞0恒成立．

， ．①

设直线DA、DB的斜率分别为k1，k2，则由∠ODA=∠ODB得，

=

= = ．

∴2ny1y2+（1﹣t）（y1+y2）=0，②

联立①②，得n（t﹣4）=0．

故存在t=4满足题意；

当直线l的斜率为0时，直线为x轴，取A（﹣2，0），B（2，0），满足∠ODA=∠ODB．

综上，在x轴上存在一点D（4，0），使得x轴平分∠ADB．

【解析】（1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，画出图形，数形结合可得|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，故点P的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为4的椭圆， 由此求出动点的轨迹方程；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=ny+1．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的纵坐标的和与积，结合斜率关系求得t值；当直线l的斜率为0时，直线为x轴，取A（﹣2，0），B（2，0），满足∠ODA=∠ODB．综上，在x轴上存在一点D（4，0），使得x轴平分∠ADB．