Question

【题目】已知在梯形ABCD中，∠ADC= ，AB∥CD，PC⊥平面ABCD，CP=AB=2DC=2DA，点E在BP上，且EB=2PE．
（1）求证：DP∥平面ACE；
（2）求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接DB交AC于点O，连接OE，

∵AB∥CD，∴ ，

∵EB=2PE，∴ ，

∴OE∥PD．

∵DP平面ACE，OE平面ACE，

∴DP∥平面ACE

（2）解：设CD=1，∵∠ADC= ，且PC⊥平面ABCD，

故以C为原点，过点C与AD平行的直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴距离空间直角坐标系．

则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），

设E（xE，yE，zE），由EB=2PE，得 ，

∴（xE，yE，zE﹣2）= （1，﹣1，﹣2），得E（ ）．

，

设平面ACE的一个法向量为 ．

由 ，取x=1，得 ．

取AC的中点M，连接MD，可得M（ ），

∴ ．

由DA=DC，得MD⊥AC，

由PC⊥底面ABCD，得MD⊥PC，

又AC∩PC=C，∴MD⊥平面PAC，

∴ 是平面PAC的一个法向量．

∴|cos＜ ＞|= ．

由图可知，二面角E﹣AC﹣P为锐二面角，

∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值为 ．

【解析】（1）连接DB交AC于点O，连接OE，由已知结合平行线成比例可得OE∥PD．再由线面平行的判定可得DP∥平面ACE；（2）设CD=1，由∠ADC= ，且PC⊥平面ABCD，故以C为原点，过点C与AD平行的直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴距离空间直角坐标系．求出平面ACE的一个法向量，再证明MD⊥平面PAC，可得 是平面PAC的一个法向量．由两法向量所成角的余弦值求得二面角E﹣AC﹣P的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．