Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足an= +2n﹣2，n∈N* ， 且S2=6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明： + + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an= +2n﹣2，n∈N*，且S2=6．

∴a2= +2×2﹣2=5，a1+a2=6，

解得a1=1．

又nan=Sn+2n2﹣2n，

当n≥2时，（n﹣1）an﹣1=Sn﹣1+2（n﹣1）2﹣2（n﹣1），

相减可得：nan﹣（n﹣1）an﹣1=an+4n﹣4，

化为an﹣an﹣1=4，

∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为4．

∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3

（2）证明：Sn= =n（2n﹣1）．

∴n≥3， = ＜ ﹣ ．

∴ + + +…+ ＜1+ + + +…+ = ﹣ ＜ ．

∴ + + +…+ ＜

【解析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；（2）Sn= =n（2n﹣1）．n≥3， = ＜ ﹣ ．利用“裂项求和”即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．