【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 满足an= +2n﹣2,n∈N* , 且S2=6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明: +
+
+…+
<
.
【答案】
(1)解:∵an= +2n﹣2,n∈N*,且S2=6.
∴a2= +2×2﹣2=5,a1+a2=6,
解得a1=1.
又nan=Sn+2n2﹣2n,
当n≥2时,(n﹣1)an﹣1=Sn﹣1+2(n﹣1)2﹣2(n﹣1),
相减可得:nan﹣(n﹣1)an﹣1=an+4n﹣4,
化为an﹣an﹣1=4,
∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为4.
∴an=1+4(n﹣1)=4n﹣3
(2)证明:Sn= =n(2n﹣1).
∴n≥3, =
<
﹣
.
∴ +
+
+…+
<1+
+
+
+…+
=
﹣
<
.
∴ +
+
+…+
<
【解析】(1)利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出;(2)Sn= =n(2n﹣1).n≥3,
=
<
﹣
.利用“裂项求和”即可得出.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题.
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【题目】某校为了纪念“中国红军长征90周年”,增强学生对“长征精神”的深刻理解,在全校组织了一次有关“长征”的知识竞赛,经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得20分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为
,
,
,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用
表示乙队的总得分.
(1)求 的分布列和均值;
(2)求甲、乙两队总得分之和等于40分且甲队获胜的概率.
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【题目】十八届五中全会公报指出:努力促进人口均衡发展,坚持计划生育的基本国策,完善人口发展战略,全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策,提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平.为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度,某部门随机调查了100位30到40岁的公务员,得到情况如下表:
男公务员 | 女公务员 | |
生二胎 | 40 | 20 |
不生二胎 | 20 | 20 |
(1)是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”,并说明理由;
(2)把以上频率当概率,若从社会上随机抽取3位30到40岁的男公务员,记其中生二胎的人数为X,求随机变量X的分布列,数学期望.
附:K2=
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 且a3=3,S7=28,在等比数列{bn}中,b3=4,b4=8.
(1)求an及bn;
(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn , 求Tn .
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【题目】已知在梯形ABCD中,∠ADC= ,AB∥CD,PC⊥平面ABCD,CP=AB=2DC=2DA,点E在BP上,且EB=2PE.
(1)求证:DP∥平面ACE;
(2)求二面角E﹣AC﹣P的余弦值.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,圆的参数方程为 (φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
.
(1)将圆的参数方程化为普通方程,在化为极坐标方程;
(2)若点P在直线l上,当点P到圆的距离最小时,求点P的极坐标.
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【题目】某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设分数x的分布频率是f(x)且f(x)= ,考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.用分层抽样的方法,现在从成绩在1分,2分及3分的人中用分层抽样随机抽出6人,再从这6人中抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b的值,并估计班级的考试平均分数;
(2)求P(ξ=7);
(3)求ξ的分布列和数学期望.
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【题目】已知等比数列{an}的第2项、第5项分别为二项式(2x+1)5展开式的第5项、第2项的系数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前n项和为Sn , 若存在实数λ,使 恒成立,求实数λ的取值范围.
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