Question

【题目】已知等比数列{an}的第2项、第5项分别为二项式（2x+1）5展开式的第5项、第2项的系数．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{an}的前n项和为Sn ， 若存在实数λ，使 恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：二项式（2x+1）5展开式的通项公式为Tr+1= （2x）5﹣r，

由题意可得a2= 2=10，a5= 24=80，

设等比数列的公比为q，则q3= =8，解得q=2，

a1= =5，

则an=52n﹣1，n∈N*

（2）解：由（1）可得前n项和为Sn= =5（2n﹣1），

若存在实数λ，使 恒成立，

即为 ＞ ﹣ 恒成立．

化简可得λ＞2﹣ ，即λ＞1﹣ ，

由n∈N*，可得 ∈（0，1]，

即有1﹣ ∈[0，1），

则当λ≥1时，使 恒成立

【解析】（1）求出二项式（2x+1）5展开式的通项公式，可得a2 ， a5 ， 运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求；（2）运用等比数列的求和公式，可得Sn ， 再由参数分离，化简可得λ＞1﹣ ，求出不等式右边的范围，即可得到所求实数λ的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．