【题目】已知是数列
的前n项和,
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)对于正整数,已知
成等差数列,求正整数
的值;
(3)设数列前n项和是
,且满足:对任意的正整数n,都有等式
成立.求满足等式
的所有正整数n.
【答案】(1)(2)
(3)1和3.
【解析】试题分析:(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系,再根据等比数列定义判断,最后根据等比数列通项公式求结果,(2)根据等差数列化简得,再根据正整数限制条件以及指数性质确定不定方程正整数解,(3)先根据定义求数列
通项公式,再根据等差数列求和公式求
,根据数列相邻项关系确定
递减,最后根据单调性求正整数解.
试题解析:(1)由
得
,两式作差得
,即
.
,
,所以
,
,则
,所以数列
是首项为
公比为
的等比数列,所以
;
(2)由题意,即
,
所以,其中
,
,
所以,
,
,所以
,
,
;
(3)由
得,
,
,
,
所以
,即
,
所以
,
又因为,得
,所以
,
从而
,
,
当时
;当
时
;当
时
;
下面证明:对任意正整数都有
,
,
当时,
,即
,
所以当时,
递减,所以对任意正整数
都有
;
综上可得,满足等式的正整数
的值为
和
.
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【题目】十八届五中全会公报指出:努力促进人口均衡发展,坚持计划生育的基本国策,完善人口发展战略,全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策,提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平.为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度,某部门随机调查了100位30到40岁的公务员,得到情况如下表:
男公务员 | 女公务员 | |
生二胎 | 40 | 20 |
不生二胎 | 20 | 20 |
(1)是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”,并说明理由;
(2)把以上频率当概率,若从社会上随机抽取3位30到40岁的男公务员,记其中生二胎的人数为X,求随机变量X的分布列,数学期望.
附:K2=
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,圆的参数方程为 (φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
.
(1)将圆的参数方程化为普通方程,在化为极坐标方程;
(2)若点P在直线l上,当点P到圆的距离最小时,求点P的极坐标.
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【题目】某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设分数x的分布频率是f(x)且f(x)= ,考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.用分层抽样的方法,现在从成绩在1分,2分及3分的人中用分层抽样随机抽出6人,再从这6人中抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b的值,并估计班级的考试平均分数;
(2)求P(ξ=7);
(3)求ξ的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数f(x)= sin(x+
)﹣
cos(x+
),若存在x1 , x2 , x3 , …,xn满足0≤x1<x2<x3<…<xn≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…
,则n的最小值为( )
A.6
B.10
C.8
D.12
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【题目】已知等比数列{an}的第2项、第5项分别为二项式(2x+1)5展开式的第5项、第2项的系数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前n项和为Sn , 若存在实数λ,使 恒成立,求实数λ的取值范围.
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【题目】某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动,随机对该市岁的人群抽取一个容量为
的样本,并将样本数据分成五组:
,
,
,
,
,再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组,第2组,…,第5组,绘制了样本的频率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后,结果如下表所示.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的比例 |
第1组 | |||
第2组 | |||
第3组 | |||
第4组 | |||
第5组 |
(1)分别求出,
的值;
(2)从第,
,
组回答正确的人中用分层抽样方法抽取
人,则第
,
,
组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的人中随机抽取
人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有
人获得幸运奖概率.
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