Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，其中左焦点为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 与椭圆 相交于 两点，若 的面积为 ，求以 为圆心且与直线 相切的圆的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，得 ，解得 .

故椭圆 的方程为： .

（2）解：①当直线 轴时，可取 ， ， 的面积为3，不符合题意.

②当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程得：

.

显然 成立，设 ， ，则 ， ，

可得： ，又圆 的半径： ，

∴ 的面积为： .

解得： .

∴ ，圆的方程为 .

【解析】对于(1)，给出了椭圆方程形式及两个条件，通过列出关于a,b,c的方程组求a,b,c.
对于（2）涉及到直线与椭圆相交时产生的弦长，三角形面积等问题时，将直线方程与椭圆方程联立成方程组，消去一个未知数如y，得到关于x的一元二次方程，由判别式，韦达定理，弦长公式等解决问题，本题还涉及到直线与圆相切，即圆心互直线的距离等于半径。注意要考虑直线的斜率不存在的情况。当然本题设直线方程用反演式:x=my+t，要优化些。