Question

8．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x-3y≤-2\\ x≥1\end{array}\right.$，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $3+\sqrt{5}$
• D． $3+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 画出可行域，利用目标函数去最小值得到a，b的等式，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值

解答 解：约束条件对应的 区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过C时取最小值为2，所以a+b=2，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$）≥2；
当且仅当a=b时等号成立；
故选A．

点评 本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值；关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．