Question

16．如图，已知斜三棱柱ABC一A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥AC，BC⊥AC₁，BA₁⊥AC₁，由此能证明AC₁⊥平面A₁BC．
（2）推导出平面A₁AB⊥平面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，求出CH=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，过H作HG⊥A₁B于G，连CG，则CG⊥A₁B，从而∠CGH为二面角A-A₁B-C的平面角，由此能求出二面角A-A₁B-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）因为A₁D⊥平面ABC，
所以，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，
所以，BC⊥平面AA₁C₁C，得BC⊥AC₁，
又BA₁⊥AC₁，
所以，AC₁⊥平面A₁BC．
解：（2）因为AC₁⊥A₁C，所以四边形AA₁C₁C为菱形，故AA₁=AC=2，
又D为AC中点，知∠A1AC=60°，
取AA₁的中点F，则AA₁⊥平面BCF，
从而，平面A₁AB⊥平面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF，BC=2，CF=$\sqrt{3}$，故CH=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
过H作HG⊥A₁B于G，连CG，则CG⊥A₁B，
从而∠CGH为二面角A-A₁B-C的平面角，
在Rt△A₁BC中，A₁C=BC=2，所以，CG=$\sqrt{2}$，
在Rt△CGH中，sin∠CGH=$\frac{CH}{CG}=\frac{\sqrt{42}}{7}$，
cosCGH=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{42}}{7}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故二面角A-A₁B-C的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．