Question

11．已知两点A（-1，0）、B（0，2），点P是圆（x-1）²+y²=1上任意一点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值是3+$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 设P（x，y），根据向量数量积的定义求出表达式，然后利用两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：设P（x，y），
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-1-x，-y）•（-x，2-y）=（1+x）x-y（2-y）=x²+x+y²-2y=（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²-$\frac{5}{4}$，
设z=（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²，则z的几何意义是P到定点D（-$\frac{1}{2}$，1）的距离的平方，
圆心C（1，0），半径R=1，
则CD=$\sqrt{（-\frac{1}{2}-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
则PD的最大值为CD+r=$\frac{\sqrt{13}}{2}$+1，则PD的平方得（$\frac{\sqrt{13}}{2}$+1）²=$\frac{13}{4}$+$\sqrt{13}$+1，
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值为$\frac{13}{4}$+$\sqrt{13}$+1-$\frac{5}{4}$=3+$\sqrt{13}$，
故答案为：3+$\sqrt{13}$

点评 本题主要考查向量数量积的应用，利用两点间的距离公式是解决本题的关键．