Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

解　(1)由已知，根据正弦定理得2a²＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

即a²＝b²＋c²＋bc.

由余弦定理得a²＝b²＋c²－2bccos A，

故cos A＝－，A＝120°.

(2)方法一　由(1)得sin²A＝sin²B＋sin²C＋sin Bsin C，

又A＝120°，∴sin²B＋sin²C＋sin Bsin C＝，

∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.

∴sin²B＋(1－sin B)²＋sin B(1－sin B)＝，

即sin²B－sin B＋＝0.

解得sin B＝.故sin C＝.

∴B＝C＝30°.

所以，△ABC是等腰的钝角三角形．

方法二　由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，

则C＝60°－B，

∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)

＝sin B＋cos B－sin B

＝sin B＋cos B

＝sin(B＋60°)

＝1，

∴B＝30°，C＝30°.

∴△ABC是等腰的钝角三角形．