Question

已知函数f（x）是（0，+∞）上可导函数，且xf′（x）＞f（x）在x＞0时恒成立，又g（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）
①求g（x）的最值
②求证x₁＞0，x₂＞0时f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）并猜想一个一般结论，加以证明
③求证

1

22

ln22+

1

32

ln32+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2＞

n

2(n+1)(n+2)

(n∈N*)．

Answer 1

分析：①依题意，通过g′（x）=-

x

1+x

，可求得当x=0时，g（x）=ln（1+x）-x取得极大值，也是最大值，无最小值；
②令h（x）=

f(x)

x

，利用其导数可判断函数h（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，从而可证x₁f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）f（x₁），同理可证x₂f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）f（x₂），二式相加即可证得结论；作出猜想：x_i＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立．用数学归纳法证明即可；
③利用数学归纳法证明：当n=1时，易证不等式成立，假设n=k时不等式成立，用好归纳假设，去推证n=k+1时不等式亦成立即可．

解答：解：①∵g′（x）=

1

1+x

-1=-

x

1+x

，
∵当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴当x=0时，g（x）=ln（1+x）-x取得极大值，由极值的唯一性知，也是最大值，无最小值．
∴g（x）_max=g（0）=0．
②∵函数f（x）是（0，+∞）上可导函数，且xf′（x）＞f（x）在x＞0时恒成立，
令h（x）=

f(x)

x

，则h′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0在x＞0时恒成立，
∴函数h（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数．
∴当x₁＞0，x₂＞0时，有x₁+x₂＞0，
∴h（x₁+x₂）＞h（x₁），即

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，
∴x₁f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）f（x₁），
同理可得x₂f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）f（x₂），
∴（x₁+x₂）f（x₁+x₂）＞（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂）），
∴f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）（x₁＞0，x₂＞0）．
于是可猜想：x_i＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立．
下面证明：则当n=2时，由f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）（x₁＞0，x₂＞0）知结论成立；
假设n=k时，结论成立，即f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_k）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_k），
则n=k+1时，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_k）+f（x_k+1）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_k）+f（x_k+1）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_k+1），
即n=k+1时，结论也成立，
综上所述，x_i＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立．
③用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=

1

22

ln2²=

1

4

ln4，
右=

1

2×2×3

=

1

4

•

1

3

，由于ln⁴＞1＞

1

3

，
∴

1

4

ln4＞

1

4

•

1

3

，即原不等式成立．
（ⅱ）假设n=k时，命题成立．即：

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+…+

1

(k+1)2

ln（k+1）²＞

k

2(k+1)(k+2)

，
那么：

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+…+

1

(k+1)2

ln（k+1）²+

1

[(k+1)+1]2

ln[（k+1）+1]²＞

k

2(k+1)(k+2)

+

1

[(k+1)+1]2

ln[（k+1）+1]²
=

k+1

2(k+2)(k+3)

-

k+1

2(k+2)(k+3)

+

k

2(k+1)(k+2)

+

1

[(k+1)+1]2

ln[（k+1）+1]²
=

k+1

2(k+2)(k+3)

+

1

2(k+2)

•（

k

k+1

-

k+1

k+3

）+

1

(k+2)2

ln（k+2）²
=

k+1

2(k+2)(k+3)

+

1

2(k+2)

•

k-1

(k+1)(k+3)

+

1

(k+2)2

ln（k+2）²≥

k+1

2(k+2)(k+3)

，
这就是说，当n=k+1时，命题也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）可知，对一切n∈N^*，都有

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+…+

1

(n+1)2

ln（n+1）²＞

n

2(n+1)(n+2)

成立．

点评：本题综合考查了导数的四则运算，利用导数证明函数的单调性，利用函数的单调性证明不等式，以及利用数学归纳法证明数列不等式的方法，属于难题．