Question

若y=f（x）是定义在R上的函数，且满足：①f（x）是偶函数；②f（x-1）是奇函数，且当0＜x≤1时，f（x）=lgx，则方程f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实数根之和为（　　）

A．8

B．12

C．16

D．24

Answer 1

分析：由f（x）是偶函数说明函数图象关于y轴对称，再由f（x-1）是奇函数说明函数图象关于点（-1，0）对称，因此可以证明出函数的周期为4．画出函数f（x）的图象，只要找出函数f（x）的图象与y=2012在区间（-6，10）内交点的情况，就不难找到f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实根之和了．

解答：解：由①知f（-x）=f（x），由②知f（-x-1）=-f（x-1），即函数图象关于（-1，0）对称；
由①②得：f（-x-2）=-f（x）=-f（-x）
∴f（x-2）=-f（x），∴f（x-4）=-f（x-2）-f（x）
∴函数f（x）的最小正周期为4
∵当0＜x≤1时，f（x）=lgx，∴函数f（x）在一个周期（-2，2）上的图象如图：
由图象数形结合可知，当x∈（-6，6）时，即三个连续周期上，方程f（x）=2012有6个关于y轴对称的根，其和为0
当x∈（6，10）时，方程f（x）=2012有2个关于x=8对称的根，其和为2×8=16
故方程f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实数根之和为0+16=16
故选C

点评：本题考查了函数与方程的综合应用以及函数图象的对称性与奇偶性等知识点，充分利用函数的奇偶性与周期性，数形结合是解决本题的关键，属中档题