Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数k＞0，使|f(x)|≤

k|x|

2013

对于一切x∈R均成立，则称f（x）为“好运”函数．给出下列函数：
①f（x）=x²； 
②f（x）=sinx+cosx；
③f(x)=

x

x2+x+1

；     
④f（x）=3^x+1．
其中f（x）是“好运”函数的序号是（　　）

Answer 1

分析：根据新定义，对每个函数一一验证，即可得出结论．

解答：解：①∵f（x）=x²，∴|f(x)|≤

k|x|

2013

可化为2013|x|≤k，显然不存在常数k，使得|f(x)|≤

k|x|

2013

对于一切x∈R均成立，即①不是“好运”函数；
②∵f（x）=sinx+cosx，∴k≥

2013|sinx+cosx|

|x|

，∵右边没有最大值，∴不存在常数k，使得|f(x)|≤

k|x|

2013

对于一切x∈R均成立，即②不是“好运”函数；
③∵f(x)=

x

x2+x+1

，∴k≥

2013

x2+x+1

．∵0＜

2013

x2+x+1

≤2684，∴k≥2684，使|f(x)|≤

k|x|

2013

对于一切x∈R均成立，即③是“好运”函数；
④∵f（x）=3^x+1，∴k≥

2013(3x+1)

|x|

，∵右边没有最小值，∴不存在常数k，使得|f(x)|≤

k|x|

2013

对于一切x∈R均成立，即④不是“好运”函数．
故选C．

点评：本题考查新定义，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．